# 2.4.3 数字示例
图 2-34 展示了一组数值，它们可以用假定的 6 位格式来表示，有 k = 3 的阶码位和 n = 2 的尾数位。偏置量是 23-1 - 1 = 3。图中的 a 部分显示了所有可表示的值（除了 NaN）。两个无穷值在两个末端。最大数值的规格化数是 ±14。非规格化数聚集在 0 的附近。图的 b 部分中，我们只展示了介于 -1.0 和 +1.0 之间的数值，这样就能够看得更加清楚。两个零是特殊的非规格化数。可以观察到，那些可表示的数并不是均匀分布的，越靠近原点处它们越稠密。
图 2-35 展示了假定的 8 位浮点格式的示例，其中有 k = 4 的阶码位和 n = 3 的小数位。偏置量是 24-1 - 1 = 7。图被分成了 3 个区域，来描述 3 类数字。不同的列给出了阶码字段是如何编码阶码 E 的，小数字段是如何编码尾数 M 的，以及它们一起是如何形成要表示的值 V = 2E × M 的。
从 0 自身开始，最靠近 0 的是非规格化数。这种格式的非规格化数的 E = 1 - 7 = -6，得到权 2E = 1/64。小数 f 的值的范围是 0, 1/8, ..., 7/8，从而得到数 V 的范围是 0 ~ 1/64 × 7/8 = 7/512。
这种形式的最小规格化数同样有 E = 1 - 7 = -6，并且小数取值范围也为 0, 1/8, ..., 7/8。然而，尾数在范围 1 + 0 = 1 和 1 + 7/8 = 15/8 之间，得出数 V 在范围 8/512 = 1/64 和 15/512 之间。可以观察到最大非规格化数和最小规格化数之间的平滑转变。这种平滑性归功于我们对非规格化数的 E 的定义。通过将 E 定义为 1 - Bias，而不是 -Bias，我们可以补偿非规格化数的尾数没有隐含的开头的 1。
当增大阶码时，我们成功地得到更大的规格化值，通过 1.0 后得到最大的规格化数。这个数具有阶码 E = 7，得到一个权 2E = 128。小数等于 7/8，得到尾数 M = 15/8。因此，数值是 V = 240。超出这个值就会溢出到 +∞。
这种表示具有一个有趣的属性：假如我们将图 2-35 中的值的位表达式解释为无符号整数，它们就是按升序排列的，就像它们表示的浮点数一样。这不是偶然的，IEEE 格式如此设计就是为了浮点数能够使用整数排序函数来进行排序。当处理负数时，有一个小的难点，因为它们有开头的 1，并且它们是按照降序出现的，但是不需要浮点运算来进行比较也能解决这个问题（参见家庭作业 2.84）。
练习题 2.47 假设一个基于 IEEE 浮点格式的 5 位浮点表示，有 1 个符号位、2 个阶码位（k = 2）和两个小数位（n = 2）。阶码偏置量是 22-1 - 1 = 1。
下表中列举了这个 5 位浮点表示的全部非负取值范围。使用下面的条件，填写表格中的空白项：
e：假定阶码字段是一个无符号整数所表示的值。
E：偏置之后的阶码值。
2E：阶码的权重。
f：小数值。
M：尾数的值。
2E × M：该数（未归约的）小数值。
V：该数归约后的小数值。
十进制：该数的十进制表示。
写出 2E、f、M、2E × M 和 V 的值，要么是整数（如果可能的话），要么是形如 x/y 的小数，这里 y 是 2 的幂。标注为 “-” 的条目不用填。
| 位 | e | E | 2E | f | M | 2E × M | V | 十进制 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 00 00 | ||||||||
| 0 00 01 | ||||||||
| 0 00 10 | ||||||||
| 0 00 11 | ||||||||
| 0 01 00 | ||||||||
| 0 01 01 | 1 | 0 | 1 | 1/4 | 5/4 | 5/4 | 5/4 | 1.25 |
| 0 01 10 | ||||||||
| 0 01 11 | ||||||||
| 0 10 00 | ||||||||
| 0 10 01 | ||||||||
| 0 10 10 | ||||||||
| 0 10 11 | ||||||||
| 0 11 00 | - | - | - | - | - | - | - | |
| 0 11 01 | - | - | - | - | - | - | - | |
| 0 11 10 | - | - | - | - | - | - | - | |
| 0 11 11 | - | - | - | - | - | - | - |
图 2-36 展示了一些重要的单精度和双精度浮点数的表示和数字值。根据图 2-35 中展示的 8 位格式，我们能够看出有 k 位阶码和 n 位小数的浮点表示的一般属性。
| 描述 | exp | frac | 单精度：值 | 单精度：十进制 | 双精度：值 | 双精度：十进制 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 00...00 | 0...00 | 0 | 0.0 | 0 | 0.0 |
| 最小非规格化数 | 00...00 | 0...01 | 2-23 × 2-126 | 1.4 × 10-45 | 2-52 × 2-1022 | 4.9 × 10-324 |
| 最大非规格化数 | 00...00 | 1...11 | (1 - ε) × 2-126 | 1.2 × 10-38 | (1 - ε) × 2-1022 | 2.2 × 10-308 |
| 最小规格化数 | 00...01 | 0...00 | 1 × 2-126 | 1.2 × 10-38 | 1 × 2-1022 | 2.2 × 10-308 |
| 1 | 01...11 | 0...00 | 1 × 20 | 1.0 | 1 × 20 | 1.0 |
| 最大规格化数 | 11...10 | 1...11 | (2 - ε) × 2127 | 3.4 × 1038 | (2 - ε) × 21023 | 1.8 × 10308 |
图 2-36 非负浮点数的示例
- 值 +0.0 总有一个全为 0 的位表示。
- 最小的正非规格化值的位表示，是由最低有效位为 1 而其他所有位为 0 构成的。它具有小数（和尾数）值 M = f = 2-n，阶码值 E = -2k-1 + 2。因此它的数字值是 V = 2^(-n - 2^(k-1) + 2)。
- 最大的非规格化值的位模式是由全为 0 的阶码字段和全为 1 的小数字段组成的。它有小数（和尾数）值 M = f = 1 - 2-n（我们写成 1 - ε），阶码值 E = -2k-1 + 2。因此，数值 V = (1 - 2-n) × 2^(-2^(k-1) + 2)，这仅比最小的规格化值小一点。
- 最小的正规格化值的位模式的阶码字段的最低有效位为 1，其他位全为 0。它的尾数值 M = 1，而阶码值 E = -2k-1 + 2。因此，数值 V = 2^(-2^(k-1) + 2)。
- 值 1.0 的位表示的阶码字段除了最高有效位等于 1 以外，其他位都等于 0。它的尾数值是 M = 1，而它的阶码值是 E = 0。
- 最大的规格化值的位表示的符号位为 0，阶码的最低有效位等于 0，其他位等于 1。它的小数值 f = 1 - 2-n，尾数 M = 2 - 2-n（我们写作 2 - ε）。它的阶码值 E = 2k-1 - 1，得到数值 V = (2 - 2-n) × 2^(2^(k-1) - 1) = (1 - 2-n-1) × 2^(2^(k-1))。
练习把一些整数值转换成浮点形式对理解浮点表示很有用。例如，在图 2-15 中我们看到 12 345 具有二进制表示 [11000000111001]。通过将二进制小数点左移 13 位，我们创建这个数的一个规格化表示，得到 12345 = 1.10000001110012 × 213。为了用 IEEE 单精度形式来编码，我们丢弃开头的 1，并且在末尾增加 10 个 0，来构造小数字段，得到二进制表示 [10000001110010000000000]。为了构造阶码字段，我们用 13 加上偏置值 127，得到 140，其二进制表示为 [10001100]。加上符号位 0，我们就得到二进制的浮点表示 [01000110010000001110010000000000]。
回想一下 2.1.3 节，我们观察到整数值 12 345（0x3039）和单精度浮点值 12345.0（0x4640E400）在位级表示上有下列关系：
现在我们可以看到，相关的区域对应于整数的低位，刚好在等于 1 的最高有效位之前停止（这个位就是隐含的开头的位 1），和浮点表示的小数部分的高位是相匹配的。
练习题 2.48 正如在练习题 2.6 中提到的，整数 3 510 593 的十六进制表示为 0x00359141，而单精度浮点数 3510593.0 的十六进制表示为 0x4A564504。推导出这个浮点表示，并解释整数和浮点数表示的位之间的关系。
练习题 2.49
A. 对于一种具有 n 位小数的浮点格式，给出不能准确描述的最小正整数的公式（因为要想准确表示它需要 n + 1 位小数）。假设阶码字段长度 k 足够大，可以表示的阶码范围不会限制这个问题。
B. 对于单精度格式（n = 23），这个整数的数字值是多少？