2.3.3 补码的非

可以看到范围在 TMin_w ≤ x ≤ TMax_w 中的每个数字 x 都有 +^t_w 下的加法逆元，我们将 -^t_wx 表示如下。

原理：补码的非

对满足 TMin_w ≤ x ≤ TMax_w 的 x，其补码的非 -^t_wx 由下式给出：

-twx	条件
TMinw	x = TMinw
-x	x > TMinw

（2.15）

也就是说，对 w 位的补码加法来说，TMin_w 是自己的加法的逆，而对其他任何数值 x 都有 -x 作为其加法的逆。

推导：补码的非

观察发现 TMin_w + TMin_w = -2^w-1 + (-2^w-1) = -2^w。这将导致负溢出，因此 TMin_w +^t_w TMin_w = -2^w + 2^w = 0。对满足 x > TMin_w 的 x，数值 -x 可以表示为一个 w 位的补码，它们的和 -x + x = 0。■

练习题 2.33 我们可以用一个十六进制数字来表示长度 w = 4 的位模式。根据这些数字的补码的解释，填写下表，确定所示数字的加法逆元。

x（十六进制）	x（十进制）	-t4x（十进制）	-t4x（十六进制）
0
5
8
D
F

对于补码和无符号（练习题 2.28）非（negation）产生的位模式，你观察到什么？

网络旁注 DATA:TNEG：补码非的位级表示

计算一个位级表示的值的补码非有几种聪明的方法。这些技术很有用（例如当你在调试程序的时候遇到值 0xfffffffa），同时它们也能够让你更了解补码表示的本质。

执行位级补码非的第一种方法是对每一位求补，再对结果加 1。在 C 语言中，我们可以说，对于任意整数值 x，计算表达式 -x 和 ~x+1 得到的结果完全一样。

下面是一些示例，字长为 4：

x⃗	~x⃗	incr(~x⃗)
[0101]　5	[1010]　-6	[1011]　-5
[0111]　7	[1000]　-8	[1001]　-7
[1100]　-4	[0011]　3	[0100]　4
[0000]　0	[1111]　-1	[0000]　0
[1000]　-8	[0111]　7	[1000]　-8

从前面的例子我们知道 0xF 的补是 0x0，而 0xA 的补是 0x5，因而 0xFFFFFFFA 是 -6 的补码表示。

计算一个数 x 的补码非的第二种方法是建立在将位向量分为两部分的基础之上的。假设 k 是最右边的 1 的位置，因而 x 的位级表示形如 [x_w-1, x_w-2, ..., x_k+1, 1, 0, ..., 0]。（只要 x ≠ 0 就能够找到这样的 k。）这个值的非写成二进制格式就是 [~x_w-1, ~x_w-2, ..., ~x_k+1, 1, 0, ..., 0]。也就是，我们对位 k 左边的所有位取反。

我们用一些 4 位数字来说明这个方法，这里我们用斜体来突出最右边的模式 1, 0, ..., 0：

x	-x
[1100]　-4	[0100]　4
[1000]　-8	[1000]　-8
[0101]　5	[1011]　-5
[0111]　7	[1001]　-7